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基于APOS理论的高等数学概念教学模式

作者: 来源:本站原创 文章点击数:

:高等数学教学中基本概念的教学是基础。基于APOS理论的高等数学概念教学模式分为四个
阶段:Action(操作或活动阶段),Process(过程阶段),Object (对象阶段), Scheme(模型阶段)。这种教学模
式既注重了数学概念的逻辑结构分析,又重视概念形成过程的思维过程分析,可以帮助学生形成较稳定的数学概念心理图式。
关键词:APOS理论;高等数学;概念教学;模式分析
 
高等数学的教学一直以来都特别强调/三基0,即基本概念、基本理论和基本方法的教学。其中基本概念的教学是基础,是掌握基本理论和运用基本方法解决实际问题的关键。当前,有些高校由于教学时数的限制,多数依据/以应用为目的,以必须、够用为度0的原则,注重学生基本运算能力和分析问题、解决问题能力的培养,强调数学的应用,对基本概念的教学有些弱化,把高等数学的教学变成了讲例题、做习题、答考题的应试教学模式。笔者认为,高等数学教学中基本概念的教学是根本,是提炼数学思想方法,培养学生创新精神的平台。只有重视基本概念,学生才能够更深刻地理解数学,运用数学。
一、     高等数学概念教学模式从传统向现代转变
传统的数学概念教学模式是建立在一般学习理论基础之上,认为数学概念教学应该注重概念产生的背景、提出过程;概念的本质属性;概念之间的联系和概念的体系;概念的巩固,包括符号、名称;概念的实际运用。这种被称为/概念同化教学方式0的数学概念教学理论偏重于概念的逻辑结构的教学,其不足之处是忽视了概念形成过程的内部的认知分析。在认知科学、建构主义等理论指导下,数学概念学习的现代研究认为:数学概念的学习是一个学生主体主动建构的过程,而且在建构的实践中,主体已有的认知结构发挥了特别重要的作用,并且学生主体的建构处于不断的发展之中;对数学概念的研究,需要深入到概念形成过程的内部,对数学概念本身独有的基本发展特征作细致的认知分析。后来经过ThompsonGreenoHiebertSfard等人的不断研究,揭示了数学概念的二重性)))/过程0/对象0,并指出,数学概念的/过程0/对象0这两个侧面有着紧密的依赖关系。形成一个数学概念往往要经历由/过程0开始,然后转变为/对象0的认知过程,而且最终结果是两者在认知结构中共存,并且在适当的时机分别发挥作用。
美国数学教育家杜宾斯基(Dubinsky)等发展起来的APOS理论,正是一种基于认知科学、建构主义理论的数学概念教学模式。该理论认为学生学习数学概念是要进行心理建构的,这一建构过程要经历四个阶段:Action(操作或活动阶段),为了引出数学概念需要进行的活动或操作; Process(过程阶段),把上述操作活动综合成数学概念;Object (对象阶段),把数学概念上升为一个独立的对象来处理; Scheme(模型阶段),形成包含上述三个过程的综合心理图式。
数学概念探究大体存在两种倾向,一种是只注重知识来龙去脉的完整探究,而不关注学生认知发展,探究过程太/原始0/烦琐0;另一种是/去数学化0的探究,注重学生动手、讨论、情景设置等外部探究活动,忽略了数学本身的内在本质特点。结果探究归探究,数学归数学,二者相背离。怎样将数学知识和探究活动有效结合?笔者以为,运用数学概念学习的APOS理论,深入数学概念形成过程的内部本质,体现/过程0/对象0的双重性,并从数学学习心理学的角度,揭示学生学习数学概念过程中真实的思维活动,是设计数学概念教学的一个有益尝试。在具体教学实践中将传统的数学概念教学模式与APOS理论辩证地统一起来,既注重数学概念的逻辑结构分析,又重视概念形成过程的思维过程分析,才能做到数学概念的逻辑形式与概念形成的历史发展过程相统一,其本质就是数学的内容与思想方法的统一。
  二、基于APOS理论的高等数学概念教学模式分析
()操作或活动(Action)阶段:引入概念
概念的引入阶段应充分考虑学生的认知规律,体现直观性、可接受性原则。从认知科学的角度分析,此时学生对数学概念的学习处于/操作或活动(Action)阶段0。在教学中,应针对不同的数学概念选取几何、物理等应用背景或纯数学背景引入概念,通过/活动0让学生亲身体验、感受概念的直观背景,并通过学生对接触到的实例进行组织整理、分析归纳来直观地帮助学生形成定义,也即从具体到抽象。因此,引例的选取很重要。在高等数学中有一些引例是很经典的,例如极限概念可用/一尺之棰,日取其半,万世不竭0,刘徽的/割圆术0,分形几何中Koch雪花周长引入;导数概念有两个经典引例:曲线的切线斜率,变速质点的瞬时速度;微分概念可用矩形边长的改变引起面积的改变量是多少作为引例;定积分概念也有两个经典引例:曲边梯形的面积,变速质点的位移;常微分方程概念用已知切线斜率求曲线方程和求上抛物体的运动方程作为引例;二重积分概念用曲顶柱体的体积和平面薄片的质量作为引例;无穷级数概念可以纯数学问题作为引例,2 =1+0. 4+0. 01+0. 004+,,进而提出问题:如何理解无穷多个数相加(这是/不可完成0)却得出一个数?也可用历史上的芝诺悖论作为引例。通过分析引例让学生亲身体验这些引例的数学或物理背景,引导学生进行组织整理、分析归纳,抽象出所举几个引例的共性,直观地帮助学生形成定义,实现从具体到抽象,为下一步概念表述做准备。另外教师也可结合学生的专业背景,改编传统引例或挖掘适合特定学习对象的新的引例。总之,通过/活动0阶段,可以激发学生的学习兴趣和强烈的求知欲及创造力,更激发出学生努力超越旧理论的局限,去构建新理论的信心和内在驱动力。
()过程(Process)阶段:概括表述概念
概念的概括,也就是数学概念的定义,是通过已知概念明确另一个概念内涵的逻辑方法。在教学中应充分发挥学生主体能动性,给学生营造一个/创造、发现0的心境,再造心智活动过程,贯彻发现法的教育原则。从认知角度分析,学生经过对/活动0进行思考,经历思维的内化、压缩过程,在头脑中对/活动0进行描述和反思,抽象出特定概念所特有的性质,即概括出数学概念的定义。概念的表述可以借鉴美国微积分教学的/四原则0,即对数学对象尽可能地用图像、数值、符号和语言四个方面加以阐明。这里的语言既包括自然的描述性语言,也包括形式化的数学语言。从几何、代数、数值和语言的多元表征方式展现数学概念,既符合个体认知规律,又有利于个体理解。不同的表征能够传达不同的信息,从整合的表征中获取的信息量比从单一的表征中获取的信息量要多得多。比如极限概念的表述可以用自然的定性描述语言,也要用数学语言描述,还要用数学符号描述,最好再用数值化列表作图逼近的方法,形象地体现自变量趋于一个值时,函数值逼近某一具体值的趋近过程,学生可以直观感受。数学概念的表述要特别注重其精确性,为了增强表述的准确性,要特别注意概念产生和成立的条件,培养学生尽量
用标准的数学语言来表述概念。
()对象(Object)阶段:分析解剖概念
/对象0阶段是通过前面的活动和抽象,认识了概念的本质,对其赋予形式化的定义和符号,使其达到精致化,成为一个具体的对象,并在以后的学习中以此对象去进行新的活动,此对象就转变为即将被操作的/实体0。当概念进入对象状态时,便呈现出一种静态的结构关系,因而有利于从整体把握其性质。因此,在教学实践中要特别注重分析解剖数学概念的表达形式中精炼的语言和所使用的符号的涵义,从多角度、全方位分析概念所适用的条件和范围。对概念内涵、外延的进一步说明就是对数学概念的含义作更深入的分析解剖,比如与其他概念的联系与比较等,努力揭示抽象概念的/本原0意义,阐明隐藏在形式符合后的数学思想方法。正确把握概念的内涵和外延,并有意识地引导学生发现数学思维过程中数学概念的矛盾运动和发展变化,从而揭示出数学概念间的关系。只有在这个时候,一个完整的数学概念才真正成型。所有教科书上的数学思想都是经过多年的锤炼形成的,一个问题被解决以后就发展成一个形式化的技巧,数学教师就是帮助学生发现隐藏在/冰冷的形式0后面的/火热的思考0过程。比如讲多元函数微积分时要与一元函数微积分相应的概念进行归纳比较,展示它们之间内在的相同的思想方法和区别。事实上,对数学概念的分析解剖要贯穿整个高等数学的学习过程,不断强化补充,从而建立起内在统一的数学概念网络,进一步形成并发展为学生主体的数学思维能力。
()模型(Scheme)阶段:形成稳定的心理图式
此时的数学概念已经以一种含有具体实例、抽象过程、完整定义乃至和其他概念的区别与联系的综合心理图式在头脑中形成。教学中要在概念的应用中加深对所学概念的理解和把握,从而形成数学意识以及分析解决实际问题的能力。要努力揭示概念的客观背景和在解决实际问题中的意义,尽可能给出几何解释、物理解释和其他联系实际意义的解释。既要阐释概念的实际应用又要阐释数学应用,举一些和实际生活相关的例子,也要把所讲概念运用于解决数学问题。比如要强调导数作为变化率的实际意义:物理、化学、生物、经济等众多领域的变化率如经济增长率、边际函数、化学反应速度、血流梯度等,也要强调概念的数学应用如从变化率角度解释复合函数求导公式、反函数求导公式、参数方程求导公式;从变化率角度解释微分中值定理;从变化率角度解释导数的符号决定函数增减性、凹凸性。讲微分概念在近似计算和积分学中的运用,既讲定积分在物理学中求变力做功求液体静压力,在经济学中已知边际函数求总量求资金流量等运用,又把定积分运用于求平面图形的面积和空间立体的体积。/模型0阶段的形成要经过长期的学习活动来完善,教师应深刻地揭示数学概念的这种矛盾运动和辩证发展,长期反复,循序渐进,螺旋上升直至建立和形成较稳定的数学概念心理图式,进而发展为个体进行数学理论研究和运用数学解决实际问题的能力。
三、     几点教学建议
在高等数学教学中教师要在一个具体数学概念的教学中实践以上四个步骤,除此之外还应注意:
首先,要阶段性地做好相似、相近或相关概念的归纳比较,以突出它们相互之间的区别与联系。学生在比较中学习可以加深对概念的理解,使其能够从整体上把握所学的诸多概念。例如一元微积分中这些概念组:数列极限与函数极限;发散量、无界量和无穷大量;一点处连续(可导)与一个区间上的连续(可导);左右极限与左右导数;驻点与极值点最值点;连续性、可导性与可积性;原函数、不定积分与定积分;可积性与存在原函数;定积分与反常积分;无穷小量、微分与微元;离散量的平均值与函数的平均值等。通过比较,突出它们之间的区别与联系。微积分以函数作为研究对象,而研究的主要方法之一是分析增量vxvy的关系,可以说增量分析是微积分的核心内容,以增量分析为线索可以串联微积分中的诸多基本概念和定理。例如对函数f(x):vyy0(vxy0)就是连续;vy/vxyA(vxy0)就是可导;vy=fc(x)vx+0(vx)就是可微;微分中值定理可以表达成:vy =fc(N)vx,NI(x,x+vx);牛顿)莱布尼兹公式就是vF(x) =QbaFc(x)dx。在教学实践中讲多元微积分学时,由于概念多,关系复杂,学生感觉有些凌乱,需要教师及时与一元微积分学的相关概念进行比较,及时总结概念间的相互联系。二元函数与一元函数比较;二重极限与一元极限比较;偏导数与一元导数比较;全微分与一元微分比较;重积分与定积分概念、性质与计算方法比较。要理清概念间的发展脉络:二元函数)))二重极限)))连续性与全微分,偏导
)))方向导数)))梯度;理清存在偏导数、可微、函数连续、偏导数连续、存在各方向的方向导数之间的关系。在讲梯度概念时可以与多元微分学其他概念相联系:如梯度与方向导数,梯度与等量面、等量线,梯度与曲面(曲线)的法向量,梯度与极值,梯度与拉格朗日乘数法等。讲一元函数的导数、多元函数的梯度和变换的雅可比矩阵之间的相互联系时,要指出它们作为/变化率0的相似之处。
其次,对比较复杂的概念要分解整理,理出其所涉及的前期概念,分别作解释说明,同时对前期概念中影响学生学习后期概念的难点作重点讲解。例如在第二类曲线积分的定义中涉及/有向曲线0的概念,在计算时还涉及有向曲线及其切向量的分析表示,一般教材的处理比较简略,容易造成学生理解上的困难,要先把这些前期概念交待清楚。为此可取以下次序讲解:有向曲线的几何说明(分非闭曲线和闭曲线两种情况))))有向曲线上各点处的切向量的指向规定)))有向曲线及其切向量的分析表示(分参数方程和显式方程两种情况))))引例:变力沿曲线所做的功)))第二类曲线积分的定义。第二类曲面积分的定义可作类似处理。另外,要改变习题和考题重技巧、轻概念的情况,设计简单而有效的概念测试题,以供平时练习和考试中使用。